Un niño pequeño aprende pronto que los números enteros están ordenados: 1, 2, 3, 4, 5… Descubre poco después que hay números enormes, como 875 o 235899. Si hace concursos para ver quién nombra el número más grande dice con satisfacción «¡Un millón!» Y luego: «¡Un millón de billones de quintillones!». Y, por último, pronuncia una palabra mágica, que le hace ganar todos los concursos: «¡Infinito!»

Pero eso no vale porque, en realidad, infinito no es un número. Lo que quiere decir en realidad es que la lista de números enteros es ilimitada; o sea, que no tiene fin. Que, escribamos el número enorme que escribamos, siempre podemos encontrar otro mayor. Incluso una cantidad enorme de números mayores que él.

¡Qué decepción! ¡Pobrecillo! El niño que ha dicho infinito ha perdido el concurso y está infinitamente desolado…

La lista de números enteros es ilimitada. Lo es hacia el lado de los positivos: 1, 2, 3, 4, 5, 6 … y lo es también hacia el lado de los enteros negativos: -1, -2, -3, -4 … Partiendo de cero, la lista es infinitamente larga hacia el lado positivo y hacia el lado negativo. Pero vamos a dejar un momento los números.

Imaginemos una línea recta. Mejor dicho, un segmento, de 20 centímetros de longitud. Hagamos un corte por su mitad. Tomemos este medio segmento y hagamos otro corte por la mitad, para obtener un cuarto. Probemos a cortar por la mitad y obtendremos 1/8. Luego, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128 … ¿Cuándo no podemos ya cortar más? Alguien dirá: «Cuando no quepa la punta del lápiz entre los espacios… »

Bueno, pues utilicemos una lupa. Hagamos los cortes 1/256, 1/512, 1/1024… ¿No podemos más? Tomemos un microscopio y continuemos: 1/2048, 1/4096… etc. ¿Cuándo paramos? ¡Nunca! Incluso cuando ya no tengamos ningún instrumento óptico para ver los cortes, siempre podremos seguir dividiendo: 1/4194304, 1/8388608…

Alguien dirá: «¡Vaya mareo! ¿Pero no íbamos a dejar los números…?»

Tienes razón. Me he pasado. Pero es que esto viene a cuento por algo que ya descubrieron los filósofos griegos hace casi tres mil años: hay un infinito aditivo, resultado de ir añadiendo uno al anterior, y un infinito divisible, resultado de cortar algo en partes cada vez más pequeñas. Además, hemos quedado en que el infinito no es realmente un número, sino una idea: la idea de ilimitado, de lo que no tiene fin.

La idea de infinito es tan atractiva y tan curiosa que el infinito se ha ganado un símbolo especial muy apropiado: ∞

¿Es infinito el universo?

Pensemos ahora en el universo. ¿Es infinito? Sabemos que es enorme. Tanto que la luz, que es velocísima, tarda miles de millones de años en ir de un extremo a otro. Pero dirás: «Vale, hemos viajado muy deprisa y tardado mucho en llegar, pero estamos en el borde del universo. ¿Y qué hay después?». La respuesta no es simple y los físicos no se ponen de acuerdo en si esa pregunta tan inteligente tiene solución sencilla. Se supone que después hay más universo … Si hay algo después de dejar atrás estrellas y galaxias, eso también tiene que ser universo, aunque esté vacío.

El asunto no es nada fácil de explicar. Un genio tan grande como Galileo se rindió a la hora de estudiar el infinito incluso dentro de los números. Y en cuanto a los límites del universo, tampoco resulta sencillo de entender. El asunto está en la manera en que nosotros vemos el universo. Somos demasiado pequeños, demasiado torpes, para ver que el universo es ilimitado, pero no infinito.

Pensemos en un escarabajo parlanchín e inteligente que diera vueltas sobre una esfera rocosa tan grande como la Tierra. Comienza a caminar, a caminar y a caminar… ¿Cuándo acaba su viaje? Nunca, incluso aunque vuelva al punto de partida. Ese escarabajo podrá seguir caminando siempre. Al cabo de millones de años de viaje, pensará: «¿Y cuándo acaba esto?». Seguirá durante mucho más tiempo y llegará a la conclusión: «Esto es infinito». Pero nosotros sabemos que no, que esa roca no es infinita, aunque el camino es ilimitado… Algo parecido ocurre cuando nosotros pensamos en el universo.

La idea de que el universo fuera infinito es mareante. Si el universo fuera infinito, cabrían en él un número infinito de cosas y un número infinito de acontecimientos. Habría un número infinito de soles, y una cantidad infinita de planetas como la Tierra. Habría infinitas personas, algunas de ellas idénticas a ti y otras con pequeñas variaciones, con un hermano nuevo llamado Marcelo o Joaquín, y una madre que tiene un coche rojo, en lugar de uno blanco, o que no tiene coche, o con un coche con una abolladura en el lateral derecho… Habría infinitos tú, idénticos a ti, que se diferenciarían de ti en una cantidad infinita de detalles … Lógicamente, parece difícil admitirlo.

Los físicos están de acuerdo en que el universo es finito, aunque nosotros tengamos la sensación de que es infinito, porque la clave está en la forma que tiene. Lo mismo que le ocurre al escarabajo con esa enorme bola de roca.

...Y volvemos a los números

Hay que estar un poco chiflado para dedicarse a estudiar el infinito, aunque sea en los números, pero hay gente que lo ha hecho. Alguien, un desconocido que vivió hace mucho tiempo, se dio cuenta de que si tenemos en cuenta las fracciones, entre el 0 y el 1 hay infinitos números. Lo hemos visto antes: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16… Cualquier fracción que tenga un numerador menor que el denominador está entre O y 1. Por ejemplo, la fracción 1234/45678. ¿Cuántas de estas fracciones se pueden nombrar? ¡Pues sí! ¡Infinitas! Incluso esta tan extraña 123456789/987654321.

O sea, que llegamos a una conclusión pasmosa: hay infinitos números enteros, pero, además, entre un número entero y otro número entero hay infinitas fracciones. Es para volverse loco de atar, porque entre dos fracciones aparentemente próximas, como 5/11 y 6/11 también hay infinitas fracciones. ¡Qué chaladura!

Que se lo digan a un matemático llamado George Cantor (1845-1918). Este hombre fue uno de los que trabajaron en la idea de infinito numérico. Descubrió no solo que hay un infinito, sino también que hay varias clases de infinitos, que tienen un tamaño distinto unos de otros.

El infinito más pequeño de todos es la lista de números enteros: 1,2,3,4,5 … Este infinito es sorprendente porque, ¿cuántos múltiplos de 17 hay? Pues tantos como números enteros. Parece mentira. Entre 0 y 100 hay solo seis múltiplos de 17, que son 0,17, 34, 51, 68 y 85. Pero el número total de múltiplos de 17 es exactamente igual que el de enteros: infinito. Y lo mismo ocurre con los múltiplos de 237856765431. Si no lo crees, compruébalo, calculándolos desde 1 hasta donde puedas y luego numerándolos.

El primer infinito es extraño y tiene propiedades «exóticas». Por ejemplo, el número de pares es igual que el número total de números enteros, y lo mismo ocurre con los impares. Podemos llegar a una conclusión curiosa, que se escribiría así:

∞ + ∞ =∞

Aquí no acaba la monstruosidad. Por ejemplo, el número total de fracciones es también igual al número total de enteros, a pesar de que entre 0 y 1 «quepan», como hemos visto, infinitas fracciones. La demostración es difícil de hacer en estas páginas, pero es posible que tu profesor de matemáticas te pueda guiar para comprenderlo, si los dos tenéis paciencia para escucharos.

El matemático Cantor llamó a este infinito con la primera letra hebrea: alef, que se escribe ﬡ. Y, como ya hemos avanzado que descubrió varios infinitos, a la cantidad que representa el número de enteros le llamó ﬡo que se lee como «alef sub cero». En realidad, lo que antes hemos escrito se debería escribir así:

ﬡ o + ﬡ o = ﬡ oPero lo sorprendente, lo apabullante, lo increíble, fue que Cantor descubrió que existen otros infinitos. Para no aburrir con ellos, simplemente avanzaré que los números de la familia de л o √2 existen en mayor cantidad que los números enteros. A este otro infinito le llamó ﬡ1 Finalmente, se dio cuenta de que había una jerarquía infinita de infinitos.

Cuando Cantor hizo estos descubrimientos se encontró con la oposición de muchas personas inteligentes e influyentes, que ni entendían ni estaban dispuestos a considerar esas chaladuras. Hubo una enorme disputa entre Cantor y otros matemáticos. Como resultado de ella, el pobre Cantor se deprimió y fue ingresado en un psiquiátrico, donde murió.

Pocos años después, muchos matemáticos que se habían opuesto a él le dieron la razón. Cantor se fue al otro mundo sin saber el enorme cambio que sus pensamientos habían causado en las matemáticas del siglo XX. Desgraciadamente, eso sucede a veces en muchos aspectos de la vida.

¡Qué esfuerzo! Vamos a relajamos…

Para acabar, vaya plantear un problemita sencillo, que leí en otros libros y me resultó delicioso. Llegas a un hotel de infinitas habitaciones, pides una habitación y el recepcionista dice:

–Lo siento, están todas ocupadas. Tenemos el hotel lleno.

Y tú tienes una idea genial:

-Es fácil. Traslade el cliente de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 3 y así sucesivamente. Así quedará la 1 libre para mí y habrá habitaciones para todos. ¿Ve como es sencillo?

Pero vamos a complicado. Imagina que llegas otro día a este hotel de infinitas habitaciones, con infinitos amigos. El recepcionista te mira con una sonrisa burlona y se excusa:

-Je, je! Seguimos llenos con infinitos clientes y veo que usted y sus amigos son infinitos. ¿Dónde desplazo al cliente de la habitación 1, eh?

Pero tú tienes la solución:

-Fácil, amigo. Traslade al cliente 1 a la habitación 2, al cliente 2 a la 4, al 3 a la 6, al 4 a la 8, al 5 a la 10 … Así quedarán libres las habitaciones impares, que ocuparemos mis infinitos amigos y yo…

El encargado del mostrador piensa que es una solución ingeniosa. Y decide matricularse por fin en un cursillo de fin de semana… para recepcionistas de hoteles infinitos.